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電路的二階系統(tǒng)化

一些常見(jiàn)的反饋電路，通常都是二階系統(tǒng)，我們以運(yùn)放容性帶載為例來(lái)討論：

*運(yùn)放的容性負(fù)載? ? *典型通用運(yùn)放的開(kāi)環(huán)增益曲線

一個(gè)典型通用運(yùn)放的開(kāi)環(huán)增益曲線如上圖所示。它一般擁有一個(gè)低頻的主極點(diǎn)，如100Hz，高頻極點(diǎn)通常會(huì)被設(shè)計(jì)為遠(yuǎn)高于穿越頻率，所以常規(guī)的運(yùn)放電路是穩(wěn)定的。

當(dāng)運(yùn)放存在容性負(fù)載的時(shí)候，開(kāi)環(huán)輸出電抗(Zo)與輸出電容(Co)形成的極點(diǎn)會(huì)處在反饋環(huán)路內(nèi)，當(dāng)極點(diǎn)頻率靠近或小于穿越頻率，則會(huì)使得系統(tǒng)的相位裕度明顯降低，導(dǎo)致不穩(wěn)定的情況發(fā)生。

所以，一個(gè)運(yùn)放帶容性負(fù)載的放大電路，其傳遞函數(shù)可以表示為：

其中，K為運(yùn)放的DC開(kāi)環(huán)增益，β是反饋系數(shù)(作為跟隨器時(shí)，β=1，100倍放大時(shí)，β=0.01)。

1/τa是運(yùn)放的低頻主極點(diǎn)的角頻率，1/τb是Zo和Co產(chǎn)生寄生極點(diǎn)的角頻率。可見(jiàn)，τa>>?τb。

上式可被轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)的二階系統(tǒng)

由于K為運(yùn)放的DC開(kāi)環(huán)增益，所以Kβ>>1

其中，ωn為電路的自然頻率，ξ為阻尼系數(shù)，且

我們知道，系統(tǒng)處于欠阻尼狀態(tài)，即0<ξ<1，才會(huì)存在過(guò)沖的情況。

對(duì)一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的二階系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，

當(dāng)??

求得階躍響應(yīng)第一個(gè)峰值對(duì)應(yīng)的時(shí)間為：

所以過(guò)沖為? ?

因此我們可以繪制如下過(guò)沖與阻尼系數(shù)的曲線

*過(guò)沖與阻尼系數(shù)的關(guān)系

過(guò)沖可以經(jīng)由在輸入端給予一個(gè)小的階躍信號(hào)，并測(cè)量輸出端得到。如下圖是在ξ=0.35的系統(tǒng)中在1ms時(shí)使用100mV階躍輸入所測(cè)得的過(guò)沖情況，過(guò)沖為31%。

相位裕量與阻尼系數(shù)的關(guān)系

為了求得系統(tǒng)穿越頻率ωc?，可令|A(s)β|=1

求得? ?

所以相位裕度

具此我們可以繪制如下相位裕量與阻尼系數(shù)的曲線

*相位裕量與阻尼系數(shù)的關(guān)系

相位裕量與過(guò)沖的關(guān)系

由此，我們借由阻尼系數(shù)，得到相位裕量與過(guò)沖的關(guān)系，繪制曲線如下

*相位裕量與過(guò)沖的關(guān)系

由上圖可知，當(dāng)相位裕量大于70?以上時(shí)已經(jīng)幾乎沒(méi)有過(guò)沖

相位裕量60? 時(shí)， OS(60?)≈8.8%

相位裕量45? 時(shí)， OS(45?) ≈23.4%