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電路的二階系統化

一些常見的反饋電路，通常都是二階系統，我們以運放容性帶載為例來討論：

*運放的容性負載? ? *典型通用運放的開環增益曲線

一個典型通用運放的開環增益曲線如上圖所示。它一般擁有一個低頻的主極點，如100Hz，高頻極點通常會被設計為遠高于穿越頻率，所以常規的運放電路是穩定的。

當運放存在容性負載的時候，開環輸出電抗(Zo)與輸出電容(Co)形成的極點會處在反饋環路內，當極點頻率靠近或小于穿越頻率，則會使得系統的相位裕度明顯降低，導致不穩定的情況發生。

所以，一個運放帶容性負載的放大電路，其傳遞函數可以表示為：

其中，K為運放的DC開環增益，β是反饋系數(作為跟隨器時，β=1，100倍放大時，β=0.01)。

1/τa是運放的低頻主極點的角頻率，1/τb是Zo和Co產生寄生極點的角頻率。可見，τa>>?τb。

上式可被轉換為標準的二階系統

由于K為運放的DC開環增益，所以Kβ>>1

其中，ωn為電路的自然頻率，ξ為阻尼系數，且

我們知道，系統處于欠阻尼狀態，即0<ξ<1，才會存在過沖的情況。

對一個標準的二階系統來說，

當??

求得階躍響應第一個峰值對應的時間為：

所以過沖為? ?

因此我們可以繪制如下過沖與阻尼系數的曲線

*過沖與阻尼系數的關系

過沖可以經由在輸入端給予一個小的階躍信號，并測量輸出端得到。如下圖是在ξ=0.35的系統中在1ms時使用100mV階躍輸入所測得的過沖情況，過沖為31%。

相位裕量與阻尼系數的關系

為了求得系統穿越頻率ωc?，可令|A(s)β|=1

求得? ?

所以相位裕度

具此我們可以繪制如下相位裕量與阻尼系數的曲線

*相位裕量與阻尼系數的關系

相位裕量與過沖的關系

由此，我們借由阻尼系數，得到相位裕量與過沖的關系，繪制曲線如下

*相位裕量與過沖的關系

由上圖可知，當相位裕量大于70?以上時已經幾乎沒有過沖

相位裕量60? 時， OS(60?)≈8.8%

相位裕量45? 時， OS(45?) ≈23.4%